Permutasi dan Kombinasi

Permutasi Dan Kombinasi

 

Permutasi dan kombinasi merupakan suatu alat analisis yang mempunyai peranan yang sangat penting, khususnya dalam menentukan banyaknya alternatif yang dapat dimungkinkan dalam pengambilan keputusan. Pertanyaan tentang berapa macam cara suatu peristiwa, dapat terjadi seringkali dihadapi dalam penghitungan bermacam kemungkinan untuk menentukan alternatif pemilihan.

Dalam membahas Permutasi dan Kombinasi, yang perlu dipahami adalah pengertian Faktorial (disimbolkan dengan tanda seru atau !). Nilai suatu bilangan yang difaktorialkan diformulasikan : n! = 1 x 2 x 3 x 4 x … x n. (khusus untuk 0! = 1). Sebagai contoh : 5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

PERMUTASI

Permutasi merupakan penyusunan obyek-obyek yang ada ke dalam suatu urutan tertentu. Hal yang perlu diperhatikan dalam permutasi adalah bahwa obyek-obyek yang ada harus dapat “dibedakan” antara yang satu dengan yang lain. Permutasi dapat dirumuskan : nPx = (n!)/(n-x)! ; dimana n = banyaknya seluruh obyek, dan x = banyaknya obyek yang dipermutasikan.

Nilai n dan x masing-masing harus lebih besar dari nol. Jika nilai x < n disebut dengan Permutasi Sebagian Obyek. Jika nilai x = n, maka disebut Permutasi Seluruh Obyek, sehingga rumus tersebut dapat disederhanakan menjadi : nPx = n! .
Contoh :
Terdapat tiga orang (X, Y dan Z) yang akan duduk bersama di sebuah bangku. Ada berapa urutan yang dapat terjadi ?
Jawab : nPx = n! ; 3P3 = 3! = 1 x 2 x 3 = 6 cara (XYZ, XZY, YXZ, YZX, ZXY, ZYX) .
Suatu kelompok belajar yang beranggotakan empat orang (A, B, C dan D) akan memilih ketua dan wakil ketua kelompok. Ada berapa alternatif susunan ketua dan wakil ketua dapat dipilih ?
Jawab : nPx = (n!)/(n-x)! ; 4P2 = (4!)/(4-2)! = 12 cara (AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB, DC) .

KOMBINASI
Perbedaan antara Permutasi dan Kombinasi terletak pada masalah “urutan atau kedudukan” penyusunan dari sekelompok obyek. Dalam permutasi masalah urutan atau kedudukan menjadi sangat penting, sedangkan dalam kombinasi tidak mementingkan urutan atau kedudukan dari sekelompok obyek tersebut.
Pada permutasi urutan obyek XYZ; XZY; ZYX adalah berbeda, tetapi untuk kombinasi urutan tersebut dianggap sama. Dengan demikian kombinasi merupakan cara pemilihan obyek yang bersangkutan dengan tidak memperhatikan urutan dari obyek tersebut. Untuk menghitung banyaknya hasil kombinasi dari obyek dapat diformulasikan : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; dimana n : banyaknya seluruh obyek yang ada, dan x : banyaknya obyek yang dikombinasikan.
Nilai x < n dan jika x = n formulasi tersebut menjadi nCn = 1.
Contoh :
Suatu warna tertentu dibentuk dari campuran 3 warna yang berbeda. Jika terdapat 4 warna, yaitu Merah, Kuning, Biru dan Hijau, maka berapa kombinasi tiga jenis warna yang dihasilkan.
Jawab : nCx = (n!)/(x!(n-x)!) ; 4C3 = (4!)/(3!(4-3)!) = 24/6 = 4 macam kombinasi (MKB, MKH, KBH, MBH).
Dalam suatu pertemuan terdapat 10 orang yang belum saling kenal. Agar mereka saling kenal maka mereka saling berjabat tangan. Berapa banyaknya jabat tangan yang terjadi.
Jawab : 10C2 = (10!)/(2!(10-2)!) = 45 jabat tangan

KOMBINASI KOMBINASI
Kombinasi dari kombinasi merupakan perkalian perkalian antara banyaknya kombinasi suatu kumpulan obyek dengan banyaknya kombinasi dari obyek lainnya. Formulasi untuk mencari kombinasi dari kombinasi adalah sebagai berikut : nCx . mCy = (n!)/(x!(n-x)!) . (m!)/(y!(m-y)!).
Contoh :
Suatu kelompok yang terdiri dari 3 orang pria dan 2 orang wanita akan memilih 3 orang pengurus. Berapa cara yang dapat dibentuk dari pemilihan jika pengurus terdiri dari 2 orang pria dan 1 orang wanita.

contoh soal  permutasi dan kombinasi:

1.  Tentukan peluang munculnya mata dadu yang jumlahnya 8 pada pelemparan 2 buah dadu2.      Ada 
2. ada berapa  cara pelat mobil dapat dibuat, jika setiap pelat memuat 3 huruf yang berbeda serta 4 angka yang berbeda dengan angka pertama tidak boleh 0.
3. Adam pergi bertamasya dari kota A menuju kota C melalui kota B. ada 4 jalur bis antara kota A dan kota B dan 5 jalur bis antara kota B menuju C. Berapa cara Adam dapat mengadakan perjalanan pulang pergi dari kota A ke C dengan syarat  tidak boleh melalui jalur yang sama
4. Tentukan peluang munculnya semua angka pada pelemparan 5 buah uang logam!
5. Dalam sebuah kotak terdapat 3 bola merah dan 2 bola putih. Tentukan peluang terambil bola merah, jika diambil 1 bola!
6. Dalam sebuah kotak terdapat 6 bola merah dan 4 bola putih, diambil 2 bola sekaligus. Tentukan peluang terambil: (a) keduanya merah, (b) keduanya putih, (c) 1 merah dan 1 putih!
7. Dalam suatu kotak terdapat 5 bola merah dan 3 bola putih, diambil 3 bola sekaligus. Tentukan peluang terambilnya: (a) ketiganya merah, (b) 2 merah dan 1 putih.
8. Pada suatu  perkumpulan yang terdiri dari 10 orang akan dipilih ketua dan sekertarisnya. Berapa banyak susunan hasil pemilihan tersebut?
9. Terdapat bilangan 1, 2, 3, 4, dan 5. Berapa banyak bilangan 3 angka dapat dibuat yang diambil dari angka tersebut tanpa pengulangan?
10. Berapa banyaknya urutan yang dapat terjadi jika 7 gambar yang berbeda digantungkan dalam sebuah garis sehingga 1 gambar tertentu posisinya di tengah?
11. Dalam berapa cara 6 buah buku dapat disusun pada sebuah rak buku?
12. Terdapat 4 buku matematika yang berbeda, 3 buku fisika, dan 2 buku kimia yang berbeda. Buku-buku tersebut akan disusun pada sebuah rak. Ada berapa cara penyusunan tersebut jika buku yang sejenis harus berkelompok?
13. Dalam berapa cara 8 orang dapat duduk pada keliling meja apabila ada 2 orang tertentu harus selalu bersama-sama?
14. Dalam suatu ruangan terdapat 15 orang. Mereka saling bersalaman. Berapa banyak salaman yang terjadi?
15. Terdapat 5 titik di mana tidak ada 3 titik yang letaknya segaris. Berapa banyak garis yang bisa dibuat dari kelima titik tersebut?
16. Dari 10 orang atlet akan dibentuk tim bola voli. Berapa banyak tim yang bisa dibuat?
17. Terdapat 5 siswa putra dan 3 siswa putri, akan dipilih 2 siswa putra dan 2 siswa putri. Berapa banyak pemilihan tersebut dapat dilakukan?
18. Dalam berapa cara 3 orang dapat dipilih dari 15 orang jika: (a) 1 orang pasti terpilih, (b) 2 orang sudah pasti tidak terpilih.
19. Sebuah organisasi mempunyai 25 anggota, 4 di antaranya adalah dokter, akan dipilih 3 orang. (a) Berapa banyak cara pemilihan tersebut? (b) Berapa banyak pemilihan tersebut jika dokter tidak terpilih? (c) Berapa banyak pemilihan tersebut jika sekurang-kurangnya 1 dokter terpilih? 
20. Dalam berapa cara 12 buku dapat dibagikan kepada 3 siswa sehingga setiap siswa menerima 4 buku? 

 Lihat Link teman 
-Pa Fajar  

-Giri Aji Winara

-Dikdik 

-Diar Fajril 

-Bayu Damarwulan 

-Harry Nugraha